پیش‌بینی خشک‌سالی با بهره‌گیری از مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی و شاخص SPI (مطالعه موردی: حوضه دریاچه ارومیه-ایران)

علوم و تکنولوژی محیط زیست، دورهبیست و دوم، شماره هفت، مهرماه 99

پیش­بینی خشک‌سالی با بهره­گیری از مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی و شاخص SPI(مطالعه موردی: حوضه دریاچه ارومیه-ایران)

مهدی کماسی^[1]*

komasi@abru.ac.ir

سروش شرقی^[2]

چکیده

زمینه و هدف: خشک‌سالی تهدیدی جدی برای انسان و محیط‌زیست بوده ازاین‌رو یافتن شاخصی جهت پیش­بینی این پدیده از اهمیت به­سزایی برخوردار است. شاخص بارش استانداردشده (SPI) یک شاخص جامع جهت طبقه‌بندی شدت خشک‌سالی به‌حساب می­آید. مدل­های هوش مصنوعی کلاسیک از متداول­ترین مدل­هایی هستند که جهت پیش­بینی شاخص SPI مورداستفاده قرارگرفته‌اند. ازآن­جایی‌که این مدل­ها بر پایه­ی ویژگی  خودهم­بستگی استوار هستند، بنابراین توانایی رصد نمودن سری­های زمانی درازمدت و فصلی را دارا نمی­باشند. در این پژوهش برای پیش­بینی خشک‌سالی از مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی و شاخص SPI استفاده‌شده است.

روش بررسی: برای این منظور سری زمانی شاخص SPI مربوط به حوضه ارومیه توسط آنالیز موجک به چندین زیر سری با مقیاس­های زمانی مختلف تبدیل‌شده و این زیر سری‌های زمانی به‌عنوان ورودی مدل ماشین بردار پشتیبان برای پیش­بینی خشک‌سالی در نظر گرفته می­شوند.

یافته ها: نتایج حاصل از صحت سنجی مدل­ها بیان­گر آن است که بیش­ترین مقدار ضریب تبیین و کم­ترین مقدار جذر میانگین مربع خطا برای مدل منفرد ماشین بردار پشتیبان به ترتیب 865/0 و 237/0 و برای مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی به ترتیب 954/0 و 056/0 می­باشد.

بحث و نتیجه گیری: بنابراین مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی در مقایسه با مدل منفرد ماشین بردار پشتیبان توانایی به­سزایی جهت  پیش­بینی سری­ زمانی شاخص SPI و نیز رصد نمودن نقاط بیشینه این سری زمانی به سبب در نظر گرفتن تغییرات فصلی دارا می­باشد. از سویی نشان داده شد که این مدل ترکیبی در مقایسه با سایر مدل­های خودهم­بسته کلاسیک هم­چون شبکه عصبی مصنوعی از دقت و کارایی بالاتری برخوردار است.

واژه­های کلیدی: مدل ماشین بردار پشتیبان، تبدیل موجک، شاخص SPI، پیش­بینی خشک‌سالی، حوضه ارومیه..

Drought Forecasting Using Wavelet - Support Vector Machine and Standardized Precipitation Index (Case Study: Urmia Lake-Iran)

Mehdi Komasi[3] *

komasi@abru.ac.ir

Soroush Sharghi[4]

Abstract

Background and Objectives:Drought is regarded as a serious threat for people and environment. As a result, finding some indices to forecast the drought is an important issue that needs to be addressed urgently. The appropriate and flexible index for drought classification is the Standardized Precipitation Index (SPI). Artificial intelligence models were commonly used to forecast SPI time series. These models are based on auto regressive property. So, they are not able to monitor the seasonal and long-term patterns in time series. In this study, the Wavelet-Support Vector Machine (WSVM) approach was used for the drought forecasting through employing SPI.

Method: In this way, the SPI time series of Urmia Lake watershed was decomposed to multiple frequent time series by wavelet transform; then, these time series were imposed as input data to the Support Vector Machine (SVM) model to forecast the drought.

Findings: The results showed that, the maximum value of R² and minimum value of RMSE indexes for SVM model are 0.865 and 0.237 and for WSVM model are 0.954 and 0.056 respectively in verification step.

Discussion and Conclusion:So, the propounded hybrid model has superior ability in forecasting SPI time series comparing with the single SVM model and also it can accurately assess the extreme data in SPI time series by considering the seasonality effects. Finally, it was concluded that, the proposed hybrid model is relatively more appropriate than classical autoregressive models such as ANN.

 Keywords: SVM Model, Wavelet Transform, SPI, Drought Forecasting, Urmia Lake Watershed.

مقدمه

برخلاف سایر مخاطرات و بلایای طبیعی، خشک‌سالی پدیده‌ای است که به‌صورت آرام و کاملا غیر محسوس رخ می‌دهد. بنابراین مدل‌سازی و پیش­بینی مشخصه‌های مختلف خشک‌سالی مانند شروع، تداوم و شدت آن در یک منطقه نقش به­سزایی را در مدیریت منابع آب و صنعت کشاورزی ایفا می‌کند. یکی از متداول­ترین روش‌ها که جهت مشخص نمودن موقعیت و شدت خشک‌سالی در یک منطقه به­کار   می­رود، استفاده از شاخص­های خشک‌سالی است. از معروف‌ترین شاخص­های خشک‌سالی می‌توان به شاخص شدت خشک‌سالی پالمر (PDSI)[5] و شاخص بارش استانداردشده (SPI)[6] اشاره کرد. لازم به ذکر است که محدودیت‌هایی در استفاده از شاخص PDSI وجود دارد. برای نمونه این شاخص برخلاف شاخص SPI فقط برای حوضه‌هایی با توپوگرافی یکنواخت کاربرد دارد. از سویی یکی از ویژگی‌های مثبت شاخص SPI توانایی توصیف خشک‌سالی در مقیاس‌های زمانی مختلف است (1و2و3). یکی دیگر از برتری‌های شاخص SPI در مقایسه با شاخص PDSI، دارا بودن ساختاری ساده برای بیان موقعیت خشک‌سالی می­باشد (2). بنابراین در این پژوهش شاخص SPI مورداستفاده قرار می‌گیرد.

جهت پیش­بینی سری زمانی داده­های SPI نیازمند به یک ماشین یادگیری می­باشد. امروزه مدل‌های هوش مصنوعی (AI)[7] مانند مدل شبکه عصبی مصنوعی (ANN)[8] و سیستم استنتاج فازی عصبی­تطبیقی (ANFIS)^[9] در پژوهش‌های متعددی برای پیش­بینی فرآیندهای هیدرولوژیکی به­کار گرفته‌شده‌اند (6-3). به‌عنوان مثال اژدری مقدم و همکاران (4) از مدل ANFIS جهت پیش­بینی خشک‌سالی در زاهدان استفاده کرند. هم­چنین این مدل توسط شفیعی و همکاران (7) برای پیش­بینی جریان ورودی رود نیل به سد اسوان مورد استفاده قرار گرفت. بنی­حبیب و همکاران (8) نیز به شبیه‌سازی و پیش­بینی جریان ماهانه ورودی به مخزن سد دز با استفاده از شبکه عصبی مصنوعی استاتیکی و دینامیکی پرداختند. نسل بعدی از   روش­های هوش مصنوعی، ماشین بردار پشتیبان (SVM)^[10] نام دارد که نسبت به روش شبکه عصبی مصنوعی سریع‌تر آموزش ‌دیده و نتایج دقیق‌تری را ارایه می‌دهد. از طرفی این مدل کارایی مناسبی در کار با داده‌های غیرخطی نسبت به سایر مدل‌ها از خود نشان داده است (11-9). در سال‌های اخیر کاربردهای مدل ماشین بردار پشتیبان در مباحث هیدرولوژیکی و هواشناسی در مقایسه با مدل شبکه عصبی مصنوعی موردسنجش قرارگرفته است(17-12). در این زمینه صحرایی و مشفق (18) به پیش­بینی جریان رودخانه با استفاده از روش ماشین بردار پشتیبان پرداختند. نتایج حاصل از محاسبه و بررسی شاخص های آماری و مقادیر خطا، حاکی از دقت بالای این مدل در مقایسه با نتایج محققین قبلی بود. نیک‌بخت شهبازی و همکاران (19) با استفاده از مدل ماشین بردار پشتیبان، شاخص SPI را در چهار حوضه تامین آب تهران پیش­بینی کردند. آن‌ها به این نتایج دست یافتند که مدل ماشین بردار پشتیبان در مقایسه با مدل شبکه عصبی مصنوعی دقت بالایی در مدل‌سازی داده‌های زمانی بلندمدت داراست. هم­چنین زهرایی و ناصری (20) از مدل ماشین بردار پشتیبان جهت پیش­بینی SPI فصلی استفاده نمودند و به این نتیجه دست یافتند که داده‌های SPI دو تا پنج ماه آینده را می‌توان با دقت بالایی به‌وسیله‌ی این مدل پیش­بینی کرد، به صورتی که این پیش­بینی نقش به­سزایی را در مدیریت منابع آب ایفا     می­کند.

هرچند مدل ماشین بردار پشتیبان دارای انعطاف و دقت مناسبی جهت مدل‌سازی سری زمانی ایستا است، اما برای مدل‌سازی سری‌های زمانی نا ایستا که گستره­ی وسیعی از مقیاس­های زمانی هم­چون دهه، سال و ماه را در­بر می­گیرند، دقت مناسبی ندارد. در چنین وضعیتی اگر داده‌های ورودی به مدل ماشین بردار پشتیبان توسط یک تابع تبدیل پیش‌پردازش نشوند دقت و کارایی مدل ‌پایین خواهد آمد (21). عمل پیش‌پردازش داده‌ها می­تواند با استفاده از تابع تبدیل موجک انجام شود به این صورت که سری زمانی داده‌های ورودی به زیرسری­هایی با درجات تجزیه مختلف، از یک­دیگر مجزا شده و جداگانه وارد مدل ماشین بردار پشتیبان می­شوند و مدل شناخت دقیق‌تری را از داده­های ورودی پیدا می‌کند تا عمل پیش­بینی درنهایت دقت صورت پذیرد. درنتیجه در این مقاله ایده و نوآوری مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی (WSVM)[11] که از داده­های با مقیاس زمانی مختلف به‌عنوان ورودی استفاده می­کند، جهت پیش­بینی و مدل‌سازی پیشنهاد گردیده است. در این راستا در پژوهش حاضر از مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی و شاخص SPI برای مدل‌سازی خشک‌سالی حوضه دریاچه ارومیه بهره­گیری شده است. بنابراین هدف، اثبات برتری این روش نسبت به سایر روش های کلاسیک است.

در ادامه این مقاله، در بخش دوم مفاهیم مربوط به شاخص SPI، مدل ماشین بردار پشتیبان، مدل شبکه عصبی مصنوعی و تابع موجک مرور و سپس ساختار مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی ارایه ‌شده است. در بخش سوم، حوضه­ی موردمطالعه معرفی گردیده و در بخش چهارم کارایی­های مدل منفرد ماشین بردار پشتیبان و مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی مورد بحث و بررسی قرارگرفته است و درنهایت نتیجه­گیری و جمع‌بندی در قسمت پایانی ارایه ‌شده است.

مواد و روش‌ها

شاخص بارش استاندارد شده (SPI)

شاخص SPI یک ابزار قوی در پردازش داده‌های بارندگی می‌باشد و هدف آن اختصاص ارزش عددی به بارندگی است که از این طریق بتوان نواحی با آب‌وهوای متفاوت را بایک­دیگر مقایسه نمود. از مزیت‌های شاخص SPI استوار بودن محاسبه SPI بر پایه داده‌های بارندگی و عدم وابستگی این شاخص به شرایط رطوبت خاک می­باشد. هم­چنین این شاخص از توپوگرافی تاثیر نمی‌پذیرد. مشخصه اصلی SPI انعطاف­پذیری آن در اندازه‌گیری خشک‌سالی در مقیاس‌های زمانی متفاوت است، زیرا خشک‌سالی ازلحاظ دوره دارای دامنه بسیار گسترده‌ای می‌باشد. بنابراین تشخیص و پایش آن با انواع مقیاس‌های زمانی مهم می‌باشد. محاسبه SPI برای هر منطقه بر پایه آمار بلندمدت بارندگی استوار می‌باشد که این آمار به یک تابع توزیع احتمال، برازش یافته و تابع حاصل می­تواند برای پیدا کردن احتمال تجمعی بارندگی برای یک ایست­گاه و یک مقیاس زمانی مشخص مورد استفاده قرار گیرد. این احتمال سپس به متغیر تصادفی نرمال تبدیل می­شود و بیان­گر شاخص SPI است که دامنه تغییرات و طبقه‌بندی آن برای بیان شدت خشک‌سالی در جدول(1) آورده شده است (22).

بنابراین مقدار  SPIانحراف استاندارد یک رویداد مشخص را از شرایط نرمال نشان می‌دهد. به‌طورکلی این شاخص بر اساس توضیحات گفته‌شده برای بیان خشک‌سالی چنین تعریف می‌شود: دوره‌ای که SPI دایماً منفی است و به مقدار 1- و کم­تر از آن می­رسد و زمانی پایان می‌پذیرد که مقدار آن مثبت شود. بنابراین مقادیر مثبت   نمایان­گر بارشی بیش از مقدار متوسط و مقادیر منفی نشان­گر بارشی کم­تر از بارش متوسط می‌باشد (23).

محاسبه شاخص SPI

داده‌های اصلی شاخص SPI را داده‌های بارندگی ماهانه ایستگاه­های باران‌سنجی تشکیل می‌دهند. پس از اطمینان از همگن و تصادفی بودن داده‌های ماهانه، سری زمانی در بازه‌های 3، 6، 12، 24 و ... ماهه تشکیل می‌شود و سری زمانی آن با توزیع گاما برازش داده می‌شود که تابع دانسیته احتمال یا فراوانی آن به‌صورت رابطه (1) تعیین می­گردد.

جدول1-طبقه‌بندی خشک‌سالی بر اساس شاخص  SPI(21)

TABLE 1. Drought classification based on SPI

α و b به ترتیب پارامتر شکل و پارامتر مقیاس می‌باشند و (α)Γ تابع گاما بوده که به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

پارامترهایα  وb مربوط به تابع چگالی گاما برای هر ایست­گاه و برای هر مقیاس زمانی و هر ماه از سال برآورد می‌شود. مک کی و همکاران با استفاده از روش حداکثر درست نمایی مقادیر بهینه ضرایب α و b را بر اساس معادلات زیر برآورد نمودند (24). 

در روابط بالا n تعداد مشاهدات بارندگی و میانگین بارندگی برای یک دوره چندماهه مشخص می‌باشد. سپس پارامترهای محاسبه‌شده برای یافتن احتمال تجمعی بارندگی برای مقیاس زمانی مشخص برای هر یک از ایست­گاه‌ها به­کار گرفته می‌شود که این احتمال را با فرض t=X/β می­توان بر طبق رابطه (6) تبدیل به تابع گامای ناقص نمود.  

از آن­جایی که تابع گاما برایX=0 تعریف‌نشده است، هرگاه توزیع بارندگی دارای مقدار صفر باشد احتمال تجمعی به‌صورت زیر محاسبه می­شود.

در معادله فوق q احتمال بارندگی صفر و m تعداد صفرهای موجود در سری‌های زمانی بارندگی می‌باشد که q را به‌صورت حاصل تقسیم m بر تعداد کل داده‌ها (n) تخمین می­زند، سپس با داشتن H(x) و روابط (8) تا (11) SPI محاسبه می­گردد:

  d₃, d₂, d₁, c₂, c₁, c₀ ضرایب ثابت به این شرح می‌باشند:

d₁=1.432788، d₂=0.189269، d₃=0.001308، c₀=2.515517، c₁ =0.802853 و c₂=0.010328.

ماشین بردار پشتیبان (SVM)

ماشین­های بردار پشتیبان همانند دیگر روش­های هوش مصنوعی بر مبنای الگوریتم داده­کاوی عمل می‌کنند. مهم‌ترین وظایف مدل ماشین­های بردار پشتیبان، طبقه‌بندی و خطی­سازی یا رگرسیون داده­ها است. خطی­سازی داده­ها به‌وسیله‌ی الگوریتم خطی­سازی ε-SVR و با معرفی تابع ε-sensitive انجام می‌پذیرد. در یک الگوریتم خطی سازی ε-SVR ، با فرض مقادیر ورودی و خروجی x_i و y_i، هدف یافتن تابعی است که کم­ترین انحراف ε را از y_i ها داشته باشد. اگر داده­های آموزشی به تعداد K سری به‌صورت (x_k,y_k)...(x_1,y₁) موردنظر باشند، تابع خطی­سازی عبارت است از:

    with                                             (12)

در تعیین تابع f(x)  باید همواره مقادیر خروجی به­گونه­ای تعیین شوند که به‌طور هم‌زمان، کم­ترین میزان انحراف ε تعیین‌شده و تابع مقدار مناسب w را اختیار کند. با حل رابطه­ی بهینه­سازی (13)  دست­یابی به چنین شرایطی محقق می­شود.

گاهی ممکن است نتوان میزان انحراف ε را لحاظ کرد و باید مقدار انحراف بیش­تر از ε را نیز قابل‌قبول فرض کرد. این میزان انحراف اضافه با لحاظ کردن متغیر­های (𝜉_i, 𝜉_i') در رابطه­ی بهینه­سازی (13) اعمال می­شود که منجر به رابطه‌ی بهینه­سازی (14) می­گردد (25).

در رابطه­ی (14)، C خطای تولید نام دارد که درواقع رابطه­ی جایگزین را برای تابع f(x)  مشخص کرده و مقدار آن تا مقدار مجاز انحراف ε افزایش می­یابد. درنهایت با استفاده از توابع کرنل  k(x_i,x)و پارامترهای لاگرانژین λ_i و λ_i' رابطه­ی تابع خطی سازی، به شکل رابطه‌ی (15) بازنویسی خواهد شد.

در رابطه با تابع هسته لازم به ذکر است که قبل از خطی­سازی داده­ها یا همان تقسیم خطی، جهت توانایی ماشین بردار پشتیبان برای پیش­بینی داده­های با پیچیدگی بالا، داده­ها به­وسیله­ی تابع هسته (K یا ɸ) به فضای با ابعاد بسیار بالاتر منتقل می­شوند تا تقسیم بندی خطی داده­ها میسر شود (شکل1). بنابراین کافی است در مسایل غیرخطی از هسته یا همان کرنل مقادیر ورودی به‌جای خود تابع استفاده شود.

شکل1- مفهوم تبدیل از فضای ورودی به فضای مشخصه (16)

Figure 1. The converting of the input space to feature space

معماری شبکه عصبی- مصنوعی  

یکی از انواع مهم شبکه‌های عصبی، شبکه پرسپترون چندلایه (Multi-Layer Perception) است که شامل یک‌لایه ورودی، یک یا چندلایه مخفی و یک‌لایه خروجی می‌باشد. در این مقاله از یک شبکه سه لایه مطابق شکل(2) با تابع محرک سیگموید استفاده شده که تعداد نرون­های لایه اول در شبکه با رویداشت به این نکته که SPI در زمانt+1 به SPI در زمان‌های , t 1-t-2, t …,t-3, می‌تواند وابسته شود 2،4،6 و... نرون در نظر گرفته شده است. هم­چنین تعداد نرون­های لایه میانی متغیر بوده و برای حالت های مختلف بین 3 تا 30 نرون بررسی صورت گرفته است. لایه خروجی نیز شامل یک نرون می­باشدکه مقدار SPI در زمان +1  tمی­باشد.

شکل2- طرح و آرایش شبکه عصبی مصنوعی

Figure 2. Design and arrangement of artificial neural network

در آرایش معماری شبکه عصبی شکل(2) ،  Xiمتغیرهای ورودی،  yمتغیر خروجی، w ضرایب وزن در شبکه، n، m و k به ترتیب تعداد نرون در لایه ورودی، لایه میانی و لایه خروجی می­باشد که این آرایش را می­توان به فرم رابطه (16) بیان داشت.

     (16)

در این تحقیق از الگوریتم LM به منظور شناسایی بهترین روش با بالاترین بازده برای آموزش شبکه استفاده شده است. این الگوریتم تغییر یافته­ی الگوریتم کلاسیک نیوتن است که برای پیداکردن راه حلی مناسب برای مسایلی که نیاز به کمینه­سازی دارند با فرمول بندی زیر به­کار می­رود. 

         (17)

دراین رابطه،  Xوزن های شبکه عصبی، J ژاکوبین ماتریس معیار اجرای شبکه که باید حداقل شود و μ عددیست که فرآیند آموزش را کنترل می­کند و e بردار خطای باقی­مانده است (26).

تبدیل موجک

تابع تبدیل موجک (شکل3) قابلیت تجزیه سری زمانی به چندین زیر سری زمانی با مقیاس‌های مختلف را دارا است و با مطالعه زیر سری‌های زمانی حاصل از سری زمانی کلی، رفتار کوچک ‌مقیاس و بزرگ‌ مقیاس یک فرایند هیدرولوژیکی را مورد آنالیز قرار می­دهد.

شکل3- طرح شماتیک تبدیل موجک

Figure 2. Schematic of the wavele ransform

تابع موجک، تابعی است که دارای دو ویژگی مهم نوسانی و کوتاه‌مدت بودن می‌باشد. (x)ψ، تابع موجک است اگر و فقط اگر تبدیل فوریه آن (ω) Ψ ، شرط زیر را برآورده کند.

                                     (18)

این شرط با عنوان شرط پذیرفتگی برای موجک (x)ψ شناخته می­شود. (x)ψ تابع موجک مادر است که در آن توابع مورد استفاده در تحلیل، با دو عمل ریاضی انتقال و مقیاس در طول سیگنال مورد تحلیل، تغییر اندازه و تغییر محل قرار می­گیرد.

                           (19)

درنهایت ضرایب موجک در هر­ نقطه از سیگنال (b) و برای هر مقدار از مقیاس (a) با رابطه (20) قابل‌محاسبه است (27):

                                 (20)

توابع موجک دارای انواع بسیاری هستند که مهم‌ترین و  پرکاربرد­ترین آن‌ها شامل تابع موجک Haar،Daubechies ، Symlet، Morle، Mexican hat،Meyer ، Coiflet می­باشند که در شکل(4) نمودار تابع چهار نمونه از موجک­ها نشان داده‌ شده است (27).

شکل4- نمودار الف)تابع موجکHaar      ب)تابع موجک     Coif1 پ)تابع موجک  Sym3 و  ت)تابع موجکDb2

Figure. 4. (a) Haar wavelet function, (b) Coif1 wavelet function, (c) Sym3 wavelet function, (d) Db2 wavelet function

مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی (WSVM)

معماری مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی از دو بخش تبدیل موجک و ماشین بردار پشتیبان تشکیل‌شده است که تبدیل موجک نقش پیش­پردازش داده­های خام و مدل ماشین بردار پشتیبان نقش مدل‌سازی را ایفا می­کند (شکل5).

شکل5- ساختار مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی

Figure 5. The architecture of the hybrid WSVM model

در روش پیشنهاد شده ابتدا سری داده‌های SPI به زیر سری‌هایی با درجه مختلف تجزیه‌شده و در مرحله بعد داده­های تجزیه‌شده جهت مدل‌سازی به‌عنوان ورودی مدل ماشین بردار پشتیبان به­کار گرفته می­شوند. در این پژوهش برای انجام مدل‌سازی از برنامه‌نویسی Matlab استفاده‌شده است. در این مدل‌سازی جهت سنجش میزان صحت و دقت از روابط آماری ضریب تبیین[12] (R²) و جذر میانگین مربع خطا [13](RMSE) در مرحله‌ی واسنجی[14] و صحت سنجی [15]به شرح روابط (21) و (22) استفاده می­شود. برای این منظور داده­ها به دو گروه تقسیم می­شوند: 75% کل داده‌ها جهت واسنجی و 25% باقی‌مانده جهت صحت­سنجی مدل ترکیبی مورد استفاده قرار  می­گیرند.

       (21)

(22)

به­طوری­که R²،  RMSE، N، SPI_obsi، SPI_comi و  به ترتیب ضریب تبیین، جذر میانگین مربع خطا، تعداد داده­های مشاهداتی SPI، داده­های مشاهداتی SPI، داده­های پیش‌بینی‌شده(محاسباتی) و میانگین داده­های مشاهداتی است.     هم­چنین از رابطه (23) جهت ارزیابی قابلیت مدل در پیش­بینی نقاط بیشینه یا کمینه استفاده می‌شود.

       (23)

به­طوری­که R²_peakضریب تبیین برای مقادیر بیشینه و کمینه و   نیز N تعداد داده‌های بیشینه و کمینه و SPI_poi،  SPI_pciو  به ترتیب داده‌های مشاهداتی، داده‌های محاسباتی و میانگین داده‌های مشاهداتی برای مقادیر بیشینه و کمینه می­باشد.

مدل ماشین بردار پشتیبان موجکی از پارامترهای ساختاری مختلفی هم­چون تابع کرنل، تابع موجک و درجه تجزیه تشکیل‌شده است که باید به‌درستی انتخاب و کالیبره شوند. بنابراین در گام نخست نتایج پژوهش، مدل ماشین بردار پشتیبان منفرد در نظر گرفته‌ شده و کارآمدترین تابع کرنل انتخاب می­گردد تا در مدل ترکیبی به­کار گرفته شود. سپس این مدل با آنالیز موجک ترکیب‌ شده و نتایج حاصل از آن مانند انتخاب بهترین تابع موجک و بهترین درجه تجزیه مورد صحت سنجی قرار می­گیرد.

مطالعه موردی و داده­های مطالعاتی

دریاچه ارومیه یک دریاچه نمکی محسوب می‌شود و در شمال غرب ایران بین دو استان آذربایجان شرقی و غربی واقع‌شده است. این دریاچه بزرگ‌ترین دریاچه در خاورمیانه به‌حساب می‌آید. طول این دریاچه 140 کیلومتر، عرض آن 40 تا 55 کیلومتر و بیش­ترین عمق آن 16 متر می‌باشد (شکل6). سطح آب در این دریاچه به حد بحرانی خود رسیده است و ارتفاع آب زیرزمینی در قسمتی از حوضه آن تا 16 متر کاهش‌یافته است. دمای میانگین در اطراف دریاچه و در مناطق کوهستانی آن به ترتیب 11 و 5/2 درجه سانتی گراد می‌باشد. بیش­تر جریان ورودی به دریاچه مربوط به سه رودخانه زرینه، سیمینه و تلخینه می‌باشد. در این پژوهش از میانگین داده‌های بارش سالانه در هشت ایست­گاه باران‌سنجی)شکل6( طی سال­های 1348 تا 1388 استفاده‌ شده و با استفاده از این داده­ها مقادیر سری زمانی SPI در بازه­ی زمانی 12 ماهه محاسبه‌شده‌اند (شکل7).

-          

شکل6- موقعیت جغرافیایی دریاچه ارومیه و ایست­گاه­های باران­سنجی

Figure 6. Location of Lake Urmia and drainage sub-basins

شکل7- سری زمانی داده‌های SPI حوضه دریاچه ارومیه

Figure 7. SPI time series of Urmia Lake watershed

مدل منفرد ماشین بردار پشتیبان (SVM)

تابع هسته یا کرنل، ساختاری مهم در الگوریتم ماشین بردار پشتیبان محسوب می­شود و دارای انواع مختلفی می­باشد. در این پژوهش چهار نوع تابع هسته مورد ارزیابی قرارگرفته است که شامل RBF-kernel، Poly-kernel، MLP-kernel و Lin-Kernel     می­باشند. در گام نخست هدف انتخاب بهترین تابع هسته ازنظر کارایی در مدل‌سازی در مقایسه با سایر توابع هسته می­باشد. برای این منظور همان‌گونه که در جدول(2) نشان داده‌شده، مدل‌سازی ماشین بردار پشتیبان توسط سه نوع تابع هسته بر روی داده­های SPI در زمان t (SPI_(t)) برای حوضه­ی ارومیه انجام‌گرفته و از R² و RMSE به‌عنوان معیاری برای تعیین کارایی مدل در واسنجی و صحت سنجی استفاده گردیده است. به دلیل بی‌بعد بودن داده­های SPI مقادیر RMSE نیز بی بعد می­باشند.

جدول2- نتایج مدل‌سازی ماشین بردار پشتیبان جهت انتخاب بهترین تابع هسته

Table 2. Result of SVM model for finding the best kernel function

در جدول(2) با توجه به مقادیر R² و RMSE در مرحله‌ی صحت سنجی یا شبیه‌سازی، تابع  RBF-kernelدقت و کارایی بالاتری را نسبت به سایر توابع از خود نشان داده است. بنابراین تابع  RBF-kernelبرای مدل‌سازی در سایر گام‌ها به­کار گرفته می‌شود. در مدل ماشین بردار پشتیبان داده­های SPI با الگوی زمانی مختلف به‌عنوان ورودی وارد الگوریتم ماشین بردار پشتیبان شده تا SPI در زمان t+1 (SPI_(t+1)) پیش­بینی شود. به بیانی دیگر الگوریتم ماشین بردار پشتیبان در مدل‌سازی داده­های SPI عمل­کردی خود هم­بسته^[16] دارد، به­طوری­که برای پیش­بینی داده­های SPI آینده (SPI_(t+1)) از داده­های زمان t و t-1 و... SPI_(t), SPI_(t-1),…)) استفاده می­گردد (رابطه (24)).

در این پژوهش از الگوریتم مارکوف برای تعیین وابستگی زمانی داده­های SPI استفاده‌شده است. بدین ترتیب که برای پیش­بینیSPI  در زمان t+1 (SPI_(t+1)) از ترکیب ورودی­های SPI به شرح ترکیب­های زیر استفاده گردیده است.

Comb. (1): SPI_(t)

Comb. (2): SPI_(t), SPI_(t-1)

Comb. (3): SPI_(t), SPI_(t-1), SPI_(t-2)

Comb. (4): SPI_(t), SPI_(t-1), SPI_(t-2), SPI_(t-3)

Comb. (5): SPI_(t), SPI_(t-1), SPI_(t-2), SPI_(t-3), SPI_(t-4)

Comb. (6): SPI_(t), SPI_(t-1), SPI_(t-2), SPI_(t-3), SPI_(t-4), SPI_(t-5)

مانند گام قبلی هرکدام از ترکیب ورودی­های SPI توسط مدل ماشین بردار پشتیبان مدل‌سازی شده و دقت آن‌ها با توجه به مقادیر R² و RMSE ارزیابی می‌شوند. جدول(3) نتایج این مدل‌سازی را نشان می‌دهد.

طبق نتایج به­دست آمده از جدول(3) ترکیب ورودی‌های Comb(2) نتایج مطلوب‌تری را در مقایسه با سایر ترکیب ورودی­ها نشان داده است. این نتیجه در تطابق با نتایج سایر پژوهش­گران می­باشد هنگامی­که از قانون خودهم­بستگی استفاده می‌کنند (26و28). هم­چنین درجات بالاتر ترکیب داده‌های ورودی (Comb(6) وComb(5)) موجب بیش­برازش[17] در مرحله واسنجی شده و این امر باعث کاهش دقت مدل‌سازی در مرحله صحت سنجی می­شود. در این راستا شکل(8) نشان‌دهنده‌ی مقایسه داده‌های مشاهداتی و محاسباتی توسط مدل ماشین بردار پشتیبان با به‌کارگیری تابع هسته RBF-kernel و ترکیب ورودی‌های Comb(2) می‌باشد.

مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی (WSVM)

در این مرحله به‌منظور سنجش اثر آنالیز موجک بر فرآیند مدل‌سازی، داده­های پیش­پردازش شده به‌عنوان ورودی­های مدل ماشین بردار پشتیبان مورداستفاده قرار می­گیرند. برای این منظور از تبدیل موجک به‌صورت مجزا استفاده می­گردد. تبدیل موجک داده­ها را در مقیاس­های زمانی مختلف (درجه تجزیه) مورد ارزیابی قرار می­دهد. بنابراین سری­های زمانی کوتاه و بلند مقیاس طی این فرآیند از هم مجزا می­گردند. در این پژوهش سعی شده تا اثر استفاده از توابع موجک مختلف با درجه تجزیه مختلف بر روی کارایی مدل مشخص گردد. بنابراین سری­های زمانی با درجه تجزیه 1 تا 7   به‌وسیله‌ی چهار نوع تابع موجک تجزیه می‌شوند. تابع موجک Sym3، تابع موجک Db2، تابع موجک Haar و تابع موجک Coife1 توابع موجکی هستند که در این پژوهش از آن‌ها استفاده ‌شده است. در مدل ترکیبی روش کار بدین شرح است که سری­های تجزیه‌شده SPI توسط تابع موجک وارد مدل ماشین بردار پشتیبان شده و پس از واسنجی، SPI را در یک روز جلوتر (SPI_(t+1)) به‌عنوان خروجی پیش­بینی می­کند و سپس صحت­سنجی داده­های محاسباتی به‌وسیله‌ی داده­های مشاهداتی صورت می­گیرد. نتایج حاصل از مدل‌سازی بر اساس بهترین تابع هسته (RBF-kernel) برای انتخاب بهترین تابع موجک و درجه‌ی تجزیه در جدول(4) آورده شده است.

جدول3-  نتایج مدل‌سازی تحت ترکیب ورودی‌های مختلف به‌وسیله‌ی تابع هسته­ی RBF-kernel

Table 3. Result of SVM model with different combs of input data by RBF-kernel function

شکل8- سری زمانی داده‌هایSPI  مشاهداتی و محاسباتی توسط ترکیب داده‌های ورودی Comb(2) و تابع هسته RBF-kernel

Figure.8. Simulated and actual SPI time series for comb (2) as input data and RBF-kernel function

جدول4- نتایج مدل‌سازی مدل ماشین بردار پشتیبان موجکی توسط توابع موجک و درجات تجزیه مختلف

Table 4. Result of the WSVM model by RBF-kernel function with different mother wavelets and decomposition levels

با توجه به جدول(4) تابع موجک Coife1 و درجه تجزیه 5 بهترین نتایج مدل‌سازی را ازنظر دقت شبیه‌سازی نشان می‌دهند. دلیل برتری تابع موجک Coife1 را می‌توان در شباهت سیگنال این تابع موجک با شکل و روند تغییرات سری زمانی SPI به­خصوص در نقاط بیشینه دانست (شکل4-ب). از سویی، دلیل کارایی مناسب درجه تجزیه 5 نسبت به سایر درجات تجزیه موجک این است که سطح تجزیه 5 شامل الگوی 2⁵ روزه است که به الگوی SPI ماهانه بسیار نزدیک  می­باشد. بر طبق این جدول درجات بالای تفکیک داده­ها (درجه 6 و 7) موجب بیش­برازش داده­ها در مرحله­ی واسنجی شده و دقت مدل‌سازی را در مرحله شبیه‌سازی (صحت سنجی) کاهش می‌دهد. سری زمانی مربوط به داده­های مشاهداتی و محاسباتی در مدل‌سازی به روش ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی برای بهترین تابع موجک (Coife1) و درجه‌ی تجزیه 5 در اشکال (9 و10) نشان داده‌ شده است.

شکل9- مقایسه­ی داده‌های محاسباتی و مشاهداتی مربوط به تابع موجک Coife1 و درجه تجزیه 5

Figure 9. Simulated and actual SPI series by Coif1 wavelet function and five decomposition level

شکل10- مقایسه­ی داده‌های محاسباتی و مشاهداتی در ناحیه‌ی مشخص شکل 9

Figure 10. Simulated and actual SPI series specified in Fig. 9

نقاط بیشینه و کمینه در سری زمانی داده‌های SPI  نشان‌دهنده‌ی پتانسیل ترسالی یا خشک‌سالی در حوضه می‌باشد و نقش موثری را در مدیریت خشک‌سالی ایفا می‌کند. در این ‌ارتباط نکته‌ی مهمی که از شکل­های(8 و 9) استنباط می­شود، توانایی بالای مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی در محاسبه­ی نقاط بیشینه­ و کمینه‌ی سری زمانی در قیاس با مدل ماشین بردار پشتیبان است، به‌طوری‌که با توجه به رابطه (23) مقادیر R²_paek برای مدل ماشین بردار پشتیبان و ماشین بردار پشتیبان موجکی به ترتیب برابر با 62/0 و 93/0 می‌باشد. درنتیجه مدل‌های فصلی[18] مانند مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی نسبت به مدل‌های خود هم­بسته مانند مدل ماشین بردار پشتیبان توانایی بالاتری در درک و شبیه‌سازی نقاط اکسترممی دارند. هم­چنین یک نکته‌ی مهم در مدل‌سازی ماشین بردار پشتیبان موجکی عدم نیاز به کنترل ترکیبات مختلف به شیوه‌ی مارکوف می‌باشد، زیرا مدل ترکیبی آنالیز موجک یک تحلیل چند مقایسه­ای است که الگوها و روندهای حاکم بر پدیده را به‌خوبی رصد می‌نماید. از مقایسه جداول(2 و 3) با جدول(4) این نتیجه حاصل می­شود که عملیات پیش­پردازش داده­ها به‌وسیله تابع موجک باعث افزایش دقت مدل‌سازی و پیش­بینی در الگوریتم ماشین بردار پشتیبان شده است به‌طوری‌که بیش­ترین دقت مدل‌سازی در صحت­سنجی بر روی ‌داده‌های خام (پیش‌پردازش نشده) در جداول(2 و 3) به‌صورت میانگین 86% بوده درحالی‌که پس از انجام عملیات تبدیل موجک بر روی‌داده‌های ورودی و تفکیک و پردازش آن­ها بیشینه دقت مدل‌سازی در صحت سنجی به 934% رسیده است. این امر بیان­گر اثرات مثبت تبدیل موجک بر روی مدل‌سازی داده‌های SPI می­باشد. شکل(11) به‌صورت شماتیک اثر مثبت تبدیل موجک بر روی داده­ها را قبل و بعد از پیش‌پردازش و تفکیک سری زمانی داده­ها به‌وسیله تبدیل موجک نشان می­دهد. همان‌طور که مشخص است پس از انجام عملیات پیش‌پردازش داده­ها، خطای مدل‌سازی (ε) به‌طور قابل‌توجهی کم­تر می­شود.

در گام آخر در این پژوهش، مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی با سایر مدل‌های ترکیبی مانند مدل شبکه عصبی مصنوعی موجکی (WANN)[19]  مقایسه گردیده است. نتایج به شرح جدول(5) می‌باشد.

بر طبق مقادیر R² و RMSE مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی نتایج دقیق‌ترین را نسبت به مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی از خود نشان داده است. از سویی، ترکیب آنالیز موجک در هرکدام از مدل‌ها موجب بهبود نتایج نسبت به مدل منفرد آن شده است. به عنوان نمونه ار میان کارهای مشابه انجام گرفته در خصوص مدل­سازی به روش­های داده کاوی می­توان به نتایج حاصل از پژوهش نورانی و همکاران (29) اشاره کرد. در این پژوهش مدل­سازی بارش و رواناب برای مدل­های ARIMA[20]، ANN، WANN و MMLAN[21]  به
ترتیب منجر به محاسبه ی ضریب تبیین (R²) معادل 63/0، 74/0، 92/0 و 87/0 در مرحله­ی صحت سنجی گردید. از مقایسه­ی نتایج این تحقیق با مقاله­ی حاضر این نتیجه حاصل    می­شود که دقت داده کاوی در روش ماشین بردار پشتیبان منفرد از روش­های دیگری مانند ARIMA و ANN بیش­تر است و هم­چنین مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی نتیجه­ی مطلوب تری را نسبت به مدل­های ترکیبی دیگری مانند WANN و MMLAN ارایه می­دهد. در پژوهش دیگری که توسط نورانی و همکاران (26) صورت گرفت دقت مدل­سازی برنامه نویسی ژنتیک (GP) در شبیه سازی فرآیند بارش و رواناب روزانه حوضه آقچای با ضریب تبیینی به اندازه ی 713/0 برآورده شد. همانطور که پیداست دقت مدل­سازی روش مطرح در این مقاله بر روش GP نیز مقدم است.

شکل11– مدل‌سازی توسط ماشین بردار پشتیبان قبل (الف) و بعد (ب)از پیش­پردازش داده­ها تحت تبدیل موجک

Figure 11. Support vector machine modeling before (A) and after (B) of the data processing by wavelet transform

جدول5- مقایسه نتایج مدل‌سازی SVM، WSVM، ANN و WANN

Table 5. Comparison of  SVM, WSVM, ANN and WANN modeling

نتیجه‌گیری و جمع‌بندی

در این پژوهش مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی (WSVM) به‌منظور مدل‌سازی سری زمانی داده‌های شاخص SPI ارایه گردید. برای این منظور سری زمانی داده‌های SPI مربوط به حوضه­ی دریاچه ارومیه به‌وسیله‌ی تبدیل موجک به زیر سری­هایی تجزیه شد و سپس این زیر سری‌های تجزیه‌شده به‌عنوان داده­های ورودی در مدل ماشین بردار پشتیبان جهت پیش­بینی SPI در یک گام زمانی جلوتر مورداستفاده قرار گرفت. نتایج نشان داد که تابع هسته RBF-Kernel نسبت به سایر توابع از دقت و کارایی بالاتری برخوردار می­باشد. نکته­ی مهم این پژوهش بهره­گیری از توابع تبدیل موجک جهت رفع مشکل استفاده از ترکیب متعدد و ویژگی خودهم­بستگی مدل ماشین بردار پشتیبان است. بدین منظور از چهار نوع تابع موجک (Sym3، Db2، Haar و Coife1) با مدل موردنظر و درجات آزادی 1 تا 7 جهت مدل‌سازی استفاده گردید. نتایج مدل‌سازی نشان داد که تابع موجک Coife1 و درجه تجزیه 5 به‌عنوان مناسب­ترین گزینه­ها ازلحاظ کارایی در مدل ترکیبی می­باشند. هم­چنین نشان داده شد که یکی از توانایی­های ویژه مدل ترکیبی ماشین بردار پشتیبان موجکی نسبت به مدل منفرد، محاسبه‌ی نقاط بیشینه­ و کمینه‌ی سری زمانی SPI است. درنهایت دقت بالای این مدل در مقایسه با مدل ترکیبی شبکه عصبی مصنوعی موجکی (WANN) به اثبات رسید. به دلیل قابلیت ویژه مدل ترکیبی پیشنهاد می­گردد که از این مدل جهت مدل‌سازی فرآیندهای هیدرولوژیکی مانند رسوب­گذاری نیز استفاده شود.

Reference

1. Cacciamani, C., Morgillo, A., Marchesi, S., Pavan, V.,2007. Monitoring and forecasting drought on a regional scale: Emilia-Romagna Region. Water Science and Technology. Lib, Vol. 62, pp. 29–48.
2. Tsakiris, G., Vangelis, H.,2004. Towards a drought watch system based on spatial SPI. Water Resources Management, Vol. 18. pp. 11–12.
3. Mishra, A.K., Desai, V.R.,2006. Drought forecasting using feed-forward recursive neural network. Ecological Modelling, Vol. 198(1-2), pp. 127-138.
4. Azhdari Moghadam, M., Khosravi, M., Hosseinpour Niknam, H., Jafari Nodoshan, E.,2012. Drought forecasting using neuro-fuzzy model. Climate indices and time series of precipitation and drought. Applied Geography and. Development, Vol. 26, pp. 17–20.
5. Marj, A.F., Meijerink, A.M.J.,2011. Agricultural drought forecasting using satellite images, climate indices and artificial neural network. International Journal of Remote Sensing, Vol. 32(24), pp. 9707–9719.
6. Ebrahimpour, R., 2014. Using Artificial Neural Networks to Estimate the Return Sludge Rate, A Case Study of Torbat Heydarieh Wastewater Treatment Plant. Journal of Water and Wastewater, Vol. 25(4), pp. 99-107. (In Persian)
7. Shafie, A., Taha, M.R., Noureldin, A., 2007. A neuro-fuzzy model for inflow forecasting of the Nile river at Aswan high dam. Journal of Water Resources Management, Vol. 21, pp. 533–556.
8. Banihabib, M., Valipoor, M., Behbahani, S. 2011. Comparison of Autoregressive Static and Artificial Dynamic Neural Network for the Forecasting of Monthly Inflow of Dez Reservoir. Journal of Environmental Science and Technology, Vol. 13(4), pp. 1-14.
9. Lin G., Chen G., Huang P., Chou Y., 2009. Support vector machine-based models for hourly reservoir inflow forecasting during typhoon-warning periods. Journal of hydrology. Vol. 372, pp.17–29.
10. Han, D., Chan, L., Zhu, N., 2007. Flood forecasting using support vector machines. Journal of Hydroinformatics, Vol. 9(4), pp. 267-276.
11. Tripathi, S.h., Srinivas, V.V., Nanjundiah R.S., 2006. Downscaling of precipitation for climate change scenarios: A support vector machine approach, Journal of Hydrology, Vol. 330, pp. 621– 640.
12. Wang, W., Men, C., Lu, W., 2008. Online prediction model based on support vector machine. Neuro Computing, Vol. 71, pp. 550-558.
13. Behzad, M.K., Asghari, M., Eazi, M., Palhang M., 2009. Generalization performance of support vector machines and neural networks runoff modeling. Expert Systems with Applications, Vol. 36, pp. 7624-7629.
14. Asefa, T., Kemblowski, M.W., Urroz, G., McKee, M. Khalil, A., 2004. Support vectors-based groundwater head observation networks design. Water Resources Research, Vol. 40 (11).
15. Asefa, T., Kemblowski, M.W., McKee, M., Khalil A., 2006. Multi-time scale stream flow prediction: The support vector machines approach. Journal of Hydrology, Vol. 318, pp. 7–16.
16. Dibike, Y.B., Velickov, S., Solomatine, D., Abbott, M.B., 2001. Model induction with support vector machines: introduction and applications. Journal of Computing in Civil Engineering, Vol. 15 (3), pp. 208–216.
17. Liong, S.Y., Sivapragasam, C., 2002. Flood stage forecasting with support vector machines. The Journal of the American Water Resources Association, Vol. 38 (1), pp. 173–196.
18. Sahraie, S., Zaker Moshfegh, M., 2013, River Flow Prediction Using Case Study Support Vector Machine, 7th National Congress of Civil Engineering, Zahedan, Sistan and Baluchestan University. (In Persian)
19. Nikbakht Shahbazi, A., Zahraei, B., Sadghi, H., Manshouri, M., Nasseri, M., 2011. Seasonality meteorological drought prediction using support vector machine. World Applied Sciences Journal, Vol. 13(6), pp. 1387-1397.
20. Zahraei, B., Nasseri, M., 2014. Basin scale meteorological drought forecasting using support vector machine. International Conference on Drought Management Strategies in Arid and Semi-Arid Regions.
21. Cannas, B., Fanni, A., See, L., Sias, G., 2006. Data preprocessing for river flow forecasting using neural networks: wavelet transforms and data partitioning. Physics and Chemistry of the Earth, Vol. 31(18), pp. 1164–1171.
22. Kim, T., Valdes, J.B., 2003. Nonlinear model for drought forecasting based on a conjunction of wavelet transforms and neural networks. Journal of Hydrologic Engineering, Vol. 6, pp. 319–328.
23. Vermes, L., 2001. How to work out a Drought mitigation strategy. European Regional conference of ICID.
24. McKee, T.B., Doesken, N.J., Kleist, J., 1993. The relationship of drought frequency and duration to time scales. in Proceedings of the 8th Conference on Applied Climatology, Anaheim, Calif, USA.
25. Vapnik, V.N., Cortes, C., 1995.  Support Vector Networks. Machine Learning, Vol. 20, pp. 273–297.
26. Nourani, V., Komasi, M., Taghi Alami, M., 2012. Hybrid wavelet–genetic programming approach to optimize artificial neural network modeling of rainfall–runoff process, Journal of Hydrology Engineering, Vol. 17(6), pp. 724–741.
27. Mallat, S.G., 1998. A Wavelet Tour of Signal Processing. Second ed. Academic Press. San Diego.
28. Nourani V., Kisi Ö., Komasi M., 2011. Two hybrid artificial intelligence approaches for modeling rainfall–runoff process. Journal of Hydrology, Vol. 402, pp. 41–59.
29. Nourani V., Komasi M., Mano A., 2009. A multivariate ANN-wavelet approach for rainfall–runoff modeling. Water Resources Management, Vol. 23, pp. 2877–2894.